推論には、「意味論的な推論」の他に「構文論的な推論」があります。

「構文論的な推論」では、フレーゲの論理主義にルーツを持つもので、
数学の証明のように、正しい命題を次々と作り出しながら、目的の命題を
作り出すことで、証明をします。

正しい命題「定理」を作り出す方法が、公理と推論規則です。
公理は、トートロジーのうちからいくつかが選ばれます。
トートロジーは常に正しいので、いつでも正しい命題として追加出来ます。

さらに、正しいと分かっている命題から新しい式を作るのが推論規則です。
これは、「A」と「A ⊃ B」が正しい場合には、B も正しいとして良い、
という規則です。

この規則を使うと、新しい命題「B」が正しい命題「定理」として証明できるので、これを繰り返すことで、証明したい命題を作り出せれば、その命題が証明できたことになるわけです。