「まんが/ラビリンス」カテゴリーアーカイブ

マンガ-3.b 「チューリングマシン② 万能チューリングマシン」

漫画へのリンク:「チューリングマシン②万能チューリングマシン」

チューリングマシンは、決められたルールに沿ってカード(記号)を書き換える操作であればどんなものでも、レールのつなぎ方(状態遷移)を変えれば実現できる機械でした。たとえば論理の推論や、数学の計算のルールなども、カードと線路の組み合わせで実現ができます。

ですが、ルールを変えるたびに、線路を実際につなぎかえていたのでは大変です。

そこで、その線路のつなぎ方をカードで 表して、それに従って動く機械をつくれば、カードの並び方を変えるだけで、どんなルールでも実行できるようになります。これが万能 チューリングマシンです。

すべてをカードにしてしまったので、記号とルールの境目もなくなってしまい、すべての計算は(論理でも整数でも)、ある種のカード列に対応付けができることになります。

すると、プログラミングというものは、そうしたカード列の中から意味のあるものを選び出すことになります。また、コンピュータで人工知能を作るには、カード列の中から知能だと思えるカード列を選べばいいことになります。

では、人工知能にはプログラミングができるのでしょうか?たくさんあるカード列の中から役に立つものを選び出そうとしたときに、自分自身を評価する自己言及的なことをしてしまっても大丈夫なのでしょうか。不完全性定理のような問題が起こってしまわないかどうか、少し心配になります。

ですが、あまり問題にする必要はないようです。

なぜなら、不完全性定理で問題にしていたのは「矛盾」の証明であって、「有用性」の証明ではありません。また、有用性は「証明」できなくても構いません。人間だってすべてのプログラムの有効性を判断できないですし、不具合のある(ある操作をすると止まらなくなったりする)プログラムをだましだまし使っ ているというのは普通にあることです。

むしろ、カード列にどうやったら意味を見いだせるのか、という方が問題になりますが、それは不完全性定理によって否定されるものでは無いようです。

# 文章が変だったので、少し直しました…

Labyrinth-2.d「不完全性定理④-ヒルベルト計画」

漫画へのリンク:「不完全性定理④-ヒルベルト計画

ようやくヒルベルト計画の内容にたどりつけました…。
 公理系,形式化、無矛盾、完全…といろいろな話が出てきて、ごちゃごちゃしてしまいましたので、ごく簡単に要約すると…

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Labyrinth-2.c「不完全性定理③-論理主義・直観主義」

「数学とは何か、でもめています」

「無限の技を使うのは、数学として許されるのか否か」に決着をつけるために、数学とは何か、という問題を見てみます。

「論理主義」は数学は論理だという主張、「直観主義」は数学は人間のすることだという主張です。論理主義がうまくいけば無限の技を使えたのですが、論理で作った数学もパラドクスと無縁では無いようです。

そこで、人間の能力を超えた無限の技の封印を主張する直観主義者との対決となるわけですが、この戦いに勝つための作戦が「ヒルベルトプログラム」、ということになります。

漫画へのリンク:「http://mangag.com/manga/?p=23420

参考文献
『論理の哲学』 飯田隆 編 講談社選書メチエ

論理主義や直観主義がどういう主張なのかを知りたいときにはこの本がわかりやすかったです。不完全性定理についても扱っています。

Labyrinth-2.b「不完全性定理②-無限の技・集合」

「ゲーデルの不完全性定理により、人工知能ができないことは証明されているのか?」という問題を考えるために、ヒルベルト計画を追いかけます。今回は、集合とパラドックスを見てみました。

「数学とは一体何か?」という大きな問で終わっていますが、これは数学の哲学の領域のようですね。

http://mangag.com/manga/?p=23420

前回挙げた参考文献、『ゲーデル 不完全性定理』を、主に参考にしています。

強力な秘奥義をマスターしたヒルベルト、この技をパラドックスの呪いから救い出すことはできるのか!?そして数学とは一体何なのか。次回「論理主義・直感主義」!
の予定。

集合をあみだしたカントール自身はパラドックスについてはあまり気にしていなかったそうです。